Tunjukkan bahwa persamaan garis singung lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² yang melewati titik (x₁, y₁) pada lingkaran adalah (x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b)

Lingkaran.

Ada 2 cara membuktikan soal ini. Menggunakan prinsip tegak lurus garis singgung dengan jari-jari dan konsep turunan implisit karena persamaan lingkaran variabelnya lebih dari satu.

Misal garis singggungnya diberi nama k.
mr mk = -1
mk = -1 / mr = -1 / [(y₁ - b) / (x₁ - a)] = -(x₁ - a) / (y₁ - b)

y - y₁ = mk (x - x₁)
y - y₁ = [(-x₁ + a) / (y₁ - b)] (x - x₁)
(y₁ - b)(y - y₁) = (-x₁ + a)(x - x₁)
y₁y - y₁² - by + by₁ = -x₁x + x₁² + ax - ax₁
y₁y + x₁x + by₁ + ax₁ - by - ax = x₁² + y₁² ... (*)

Titik (x₁, y₁) terletak pada lingkaran. Substitusi ke persamaan lingkaran diperoleh:
(x₁ - a)² + (y₁ - b)² = r² 
x₁² + y₁² = 2ax₁ + 2by₁ - a² - b² + r² ... (**)

Substitusi (**) ke (*), maka:
y₁y + x₁x + by₁ + ax₁ - by - ax = 2ax₁ + 2by₁ - a² - b² + r²
(x₁x - ax₁ - ax + a²) + (y₁y - by₁ - by + b²) = r²
(x₁ - x)(x - a) + (y₁ - y)(y - b) = r² ← Terbukti.